Vorlesung zur Funktionalanalysis (Sommersemester 2011)

Prof. Dr. Robert Denk

  • Die Ergebnisse der Klausur zur Funktionalanalysis finden Sie hier (Stand 3.8.2011). Es wird noch bekannt gegeben, ab wann die Scheine abgeholt werden können. Einsichtnahme in die Klausur ist möglich
    • am Freitag, den 29.7.2011, 10.00-12.00 Uhr, in G 410,
    • am Dienstag, den 18.10.2011, 10.00-12.00 Uhr, in G410.
    Die Nachprüfung zur Funktionalanalysis findet in Form mündlicher Prüfungen statt; die Termine werden individuell vereinbart.
  • Zeit und Ort der Vorlesung: Di 10-12 in M 629, Fr 10-12 in R 513
  • Homepage der Übungen (Tobias Nau)
  • Die Musterlösung von Blatt 12 finden Sie hier.
  • Skript der Vorlesung (wird schrittweise aufgebaut)

Inhalt:

Diese Vorlesung gibt eine Einführung in grundlegende Fragestellungen und Methoden der Funktionalanalysis. Sie wendet sich an Studierende des Haupstudiums mit einem Interessenschwerpunkt in anwendungsorientierter Analysis und sollte von den Studierenden der Mathematischen Finanzökonomie gehört werden. Sie ist aber sicher auch für mathematisch orientierte Studierende der Physik interessant.

Die Funktionalanalysis beschäftigt sich mit Vektorräumen beliebiger Dimension sowie den linearen Abbildungen zwischen ihnen, den Operatoren. Im unendlich-dimensionalen Fall kann vieles passieren, was man aus der Linearen Algebra im endlich-dimensionalen Fall nicht kennt. So gibt es lineare Abbildungen, die nicht stetig sind, surjektive Abbildungen eines Raumes in sich müssen nicht injektiv sein, und es gibt unendliche Matrizen, die keinen Eigenwert besitzen. Hier heißt es, genauer hinzusehen und z. B. die verschiedenen Konvergenzbegriffe zu unterscheiden. Die Sätze der Funktionalanalysis analysieren die zugrundeliegenden Strukturen und erlauben damit ein tieferes Verständnis. So können z. B. Funktionen als "Punkte" eines Raumes verstanden werden, was einem erlaubt, auch geometrische Begriffe wie die Orthogonalität zu verwenden und auszunützen. Die Frage der Eigenwerte wird letztlich durch den Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren beantwortet, der wesentlich für die theoretische Physik ist.

Die Ergebnisse der Funktionalanalysis sind fundamental für viele Bereiche der Mathematik, unter anderem für die Theorie partieller Differentialgleichungen, die mathematische Physik und die Numerik. In der Vorlesung werden Themen wie normierte Vektorräume, Dualräume, Hahn-Banach-Sätze, Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit sowie beschränkte und unbeschränkte Operatoren und ihre Spektraldarstellung behandelt. Vorausgesetzt werden neben grundlegenden Dingen aus der Linearen Algebra solide analytische Grundkenntnisse der Analysis und die Beherrschung der einschlägigen Techniken. Zudem sollten topologische Grundbegriffe, zumindest für metrische Räume, schon etwas vertraut sein.

Literatur wird in der Vorlesung bekannt gegeben.

Skript:

Das Skript zur Funktionalanalysis vom Sommersemester 2010 (gemeinsam mit Michael Dreher) ist gut als Begleitlektüre zur Vorlesung geeignet und findet sich hier.

Ein Skript der aktuellen Vorlesung wird schrittweise aufgebaut und findet sich hier.

Zugehörige Module:

Die Vorlesung kann entweder das ganze Semester (mit 9 Credits) oder in der ersten Semesterhälfte (mit 5 Credits) gehört werden. Dabei ist der erste Teil insbesondere für die Studierenden der Mathematischen Finanzökonomie gedacht. Es ergeben sich folgende Zuordnungen:

Funktionalanalysis (4+2 Semesterwochenstunden, 9 Credits):

  • Ergänzungsmodul für Bachelor Mathematik
  • Wahlmodul für Master Mathematik
  • Hauptstudium Diplom Mathematik
  • Hauptstudium Lehramt Mathematik

Elemente der Funktionalanalysis (=erste Hälfte der Vorlesung, 2+1 Semesterwochenstunden, 5 Credits):

  • Teil des MFÖ-BA-Moduls 3: Aufbaumoduls Analysis (5 Credits, erste Hälfte der Vorlesung)
  • Ergänzungsmodul für Bachelor Mathematik
  • Wahlmodul für Master Mathematik
  • Teil der Analysis III bzw. IV für Lehramt Mathematik

Prüfungsmodalitäten:

  • Für alle Studierenden gilt: Der Erwerb des Scheines bzw. das erfolgreiche Bestehen des Moduls setzt eine erfolgreiche Teilnahme an den Übungen voraus. Dies bedeutet sowohl einen hinreichend großen Anteil an korrekt gelösten Übungsaufgaben (ca. 50%) als auch eine aktive Teilnahme an den Übungen.
  • Für alle Studierenden gilt: Hinsichtlich der Anmeldung zu den Prüfungen beachten Sie bitte den Aushang beim Prüfungssekretariat.
  • Die Klausur findet am 19. 7. 2011, 10.30-13.30 Uhr statt (sowohl ganzes Semester als auch halbes Semester), die Hörsaaleinteilung wird noch bekannt gegeben. Die Klausur ist Bestandteils des Moduls Funktionalanalysis (Bachelor/Master) und Bestandteil des Übungsscheins (Lehramt).