Vorlesung zur Funktionalanalysis (SS 2015)

Prof. Dr. Robert Denk

  • Zeit und Ort der Vorlesung: Di, Do 10.00-11.30 in R 512
  • Anmeldung zu den Übungen sowie Skript in ILIAS

Inhalt:

Diese Vorlesung gibt eine Einführung in grundlegende Fragestellungen und Methoden der Funktionalanalysis. Sie wendet sich an Studierende des Haupstudiums mit einem Interessenschwerpunkt in anwendungsorientierter Analysis und sollte von den Studierenden der Mathematischen Finanzökonomie gehört werden. Sie ist aber sicher auch für mathematisch orientierte Studierende der Physik interessant.

Die Funktionalanalysis beschäftigt sich mit Vektorräumen beliebiger Dimension sowie den linearen Abbildungen zwischen ihnen, den Operatoren. Im unendlich-dimensionalen Fall kann vieles passieren, was man aus der Linearen Algebra im endlich-dimensionalen Fall nicht kennt. So gibt es lineare Abbildungen, die nicht stetig sind, surjektive Abbildungen eines Raumes in sich müssen nicht injektiv sein, und es gibt unendliche Matrizen, die keinen Eigenwert besitzen. Hier heißt es, genauer hinzusehen und z. B. die verschiedenen Konvergenzbegriffe zu unterscheiden. Die Sätze der Funktionalanalysis analysieren die zugrundeliegenden Strukturen und erlauben damit ein tieferes Verständnis. So können z. B. Funktionen als "Punkte" eines Raumes verstanden werden, was einem erlaubt, auch geometrische Begriffe wie die Orthogonalität zu verwenden und auszunützen. Die Frage der Eigenwerte wird letztlich durch den Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren beantwortet, der wesentlich für die theoretische Physik ist.

Die Ergebnisse der Funktionalanalysis sind fundamental für viele Bereiche der Mathematik, unter anderem für die Theorie partieller Differentialgleichungen, die mathematische Physik und die Numerik. In der Vorlesung werden Themen wie normierte Vektorräume, Dualräume, Hahn-Banach-Sätze, Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit sowie beschränkte und unbeschränkte Operatoren und ihre Spektraldarstellung behandelt. Vorausgesetzt werden neben grundlegenden Dingen aus der Linearen Algebra solide analytische Grundkenntnisse der Analysis und die Beherrschung der einschlägigen Techniken. Zudem sollten topologische Grundbegriffe, zumindest für metrische Räume, schon etwas vertraut sein.

Die Vorlesung orientiert sich inhaltlich an den entsprechenden Kapiteln im Buch

R. Denk, R. Racke: Kompendium der Analysis - Ein kompletter Bachelor-Kurs von Reellen Zahlen zu Partiellen Differentialgleichungen Band 2: Differential- und Integralrechnung, Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Vieweg, Wiesbaden 2012, 305 Seiten.

Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekanntgegeben.

Skript:

Ein Skript der aktuellen Vorlesung wird schrittweise aufgebaut und findet sich in ILIAS.

Zugehörige Module

Mathematik (88105H):
-  Bachelor Ergänzungsmodul Funktionalanalysis (6530)
-  Master Wahlmodul (3100)
-  Diplomstudiengang: Hauptstudium Vorlesungen
-  GymPO 2009: Wahlmodul (3100)
-  WPO 2001: Hauptstudium Vorlesungen

Master Gymnasiales Lehramt Physik (85128H):
-  Wahlpflichtveranstaltung (2610)

Erste Hälfte der Vorlesung:
Mathematische Finanzökonomie (82776H) - neue PO ab SS 2011:
- Wahlbereich 7101: Lehrveranstaltungen aus dem Fachbereich Mathematik und Statistik
   3100 MFÖ-BA-Modul 3: Aufbaumodul Analysis
   Mathematik 2200 Funktionalanalysis

Prüfungsmodalitäten:

  • Für alle Studierenden gilt: Der Erwerb des Scheines bzw. das erfolgreiche Bestehen des Moduls setzt eine erfolgreiche Teilnahme an den Übungen voraus. Dies bedeutet sowohl einen hinreichend großen Anteil an korrekt gelösten Übungsaufgaben (ca. 50%) als auch eine aktive Teilnahme an den Übungen.
  • Für alle Studierenden gilt: Hinsichtlich der Anmeldung zu den Prüfungen beachten Sie bitte den Aushang beim Prüfungssekretariat.
  • Die Klausur findet voraussichtlich am  27.07.15 Uhr statt (sowohl ganzes Semester als auch halbes Semester), die Hörsaaleinteilung wird noch bekannt gegeben. Die Klausur ist Bestandteil des Moduls Funktionalanalysis (Bachelor/Master).