Seminar zur globalen Analysis (Wintersemester 1998/99)

Dr. Robert Denk, Dr. Stefan Bechtluft-Sachs

Universität Regensburg

Inhalt: Im Seminar werden folgende Vorträge gehalten:

  • Einführung in die Theorie der Pseudodifferentialoperatoren (Robert Denk)

    Pseudodifferentialoperatoren bilden eine Verallgemeinerung partieller Differentialoperatoren und erlauben es, sowohl Differentialoperatoren als auch deren Inverse in einer Klasse zusammenzufassen. Bei sog. klassischen PsDO lässt sich die Komposition zweier Operatoren auf Symbolebene beschreiben, und man erhält eine *-Algebra. [1], [2]

  • Komplexe Potenzen elliptischer Operatoren (Ulrich Riegel)

    Für einen positiven klassischen elliptischen Pseudodifferentialoperator A der Ordnung n auf einer d-dimensionalen kompakten Mannigfaltigkeit wird ein PseudodifferentialoperatorAs definiert und die asymptotische Entwicklung des Symbols von As bestimmt. Für Re s >> 0 ist A-s Spurklasse und z(s) = Sp(A-s)  definiert eine meromorphe Funktion, deren Residuen und Werte an den Stellen s = (d-j)/n, j = 0,1,2,... durch lokale Formeln gegeben sind. [3]

  • Spektralsequenzen (Jörg Sixt)

    Spektralsequenzen sind eine Maschine, mit deren Hilfe man (manchmal) die Homologie von filtrierten Kettenkomplexen bestimmen kann. [6], [7]

  • Das nichtkommutative Residuum von Wodzicky (Marco Hien)

    Auf der Algebra der klassischen Pseudodifferentialoperatoren auf einer kompakten Mannigfaltigkeit ohne Rand laesst sich eine Spur direkt mit Hilfe des vollständigen (nur lokal definierten) Symbols angeben. Diese Spur ist das nichtkommutative Residuum von Wodzicki. [4], [5]

  • Hochschild und zyklische Homologie von Differentialoperatoralgebren (Margarita Kraus)

     

  • Die Brylinski-Spektralsequenz und die Eindeutigkeit des Wodzickischen Residuums (Stefan Bechtluft-Sachs)

    Die Hochschildhomologie H* von Y/Y-¥ ist

    Hk(Y/Y-¥) = HdeRham2d-k(STM×S1)
    Für eine Algebra A kann H0(A) mit dem Vektorraum der Spuren auf der Algebra A identifiziert werden Insbesondere besitzt Y/Y-¥ bis auf Skalierung nur eine Spur, falls d > 1. [8]

Verwendete Literatur:

[1] Gilkey, Peter B. Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem. Second edition. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995. x+516

[2] Kumano-go: Pseudodifferential Operators, MIT Press, Cambridge 1981

[3] Seeley, R. T. Complex powers of an elliptic operator. 1967 Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) pp. 288-307 Amer. Math. Soc., Providence, R.I.

[4] Schrohe, Elmar Wodzicki's noncommutative residue and traces for operator algebras on manifolds with conical singularities.

[5] Fedosov, B.V.; Golse, F.; Leichtmann, E.; Schrohe, E.: The noncommutative residue for manifolds with boundary. J. Funct. Anal.142 (1996), 1-31

[6] Seibt, Peter Cyclic homology of algebras. World Scientific Publishing Co., Singapore, 1987. xii+160 pp.

[7] Bott, Raoul; Tu, Loring W. Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. xiv+331 pp.

[8] Brylinski, Jean-Luc; Getzler, Ezra The homology of algebras of pseudodifferential symbols and the noncommutative residue. K-Theory 1 (1987), no. 4, 385-403.