Vorlesung zur Funktionalanalysis (Wintersemester 2007/08)

Prof. Dr. Robert Denk, Prof. Dr. Dieter Hoffmann

Inhalt:
Diese Vorlesung gibt eine Einführung in grundlegende Fragestellungen und Methoden der Funktionalanalysis. Sie wendet sich an Studierende des Haupstudiums mit einem Interessenschwerpunkt in anwendungsorientierter Analysis und sollte von den Studierenden der Mathematischen Finanzökonomie gehört werden. Sie ist aber sicher auch für mathematisch orientierte Studierende der Physik interessant.

Die Funktionalanalysis beschäftigt sich mit Vektorräumen beliebiger Dimension sowie den linearen Abbildungen zwischen ihnen, den Operatoren. Im unendlich-dimensionalen Fall kann vieles passieren, was man aus der Linearen Algebra im endlich-dimensionalen Fall nicht kennt. So gibt es lineare Abbildungen, die nicht stetig sind, surjektive Abbildungen eines Raumes in sich müssen nicht injektiv sein, und es gibt unendliche Matrizen, die keinen Eigenwert besitzen. Hier heißt es, genauer hinzusehen und z. B. die verschiedenen Konvergenzbegriffe zu unterscheiden. Die Sätze der Funktionalanalysis analysieren die zugrundeliegenden Strukturen und erlauben damit ein tieferes Verständnis. So können z. B. Funktionen als "Punkte" eines Raumes verstanden werden, was einem erlaubt, auch geometrische Begriffe wie die Orthogonalität zu verwenden und auszunützen. Die Frage der Eigenwerte wird letztlich durch den Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren beantwortet, der wesentlich für die theoretische Physik ist.

Die Ergebnisse der Funktionalanalysis sind fundamental für viele Bereiche der Mathematik, unter anderem für die Theorie partieller Differentialgleichungen, die mathematische Physik und die Numerik. In der Vorlesung werden Themen wie normierte Vektorräume, Dualräume, Hahn-Banach-Sätze, Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit sowie beschränkte und unbeschränkte Operatoren und ihre Spektraldarstellung behandelt. Vorausgesetzt werden neben grundlegenden Dingen aus der Linearen Algebra solide analytische Grundkenntnisse der Analysis und die Beherrschung der einschlägigen Techniken. Zudem sollten topologische Grundbegriffe, zumindest für metrische Räume, schon etwas vertraut sein.

Literatur:
Literatur wird in einem Semesterapparat zusammengestellt und zu Beginn der Vorlesung etwas kommentiert werden.