Bei fast allen technischen Anwendungen sind mehrere Kriterien von Interesse - sowohl bei der Entwicklung als auch im Betrieb. Beispiele sind schnelle, aber energieeffiziente Fahrzeuge und Konstruktionen, die sowohl leicht als auch stabil sein müssen. Das Ziel bei den daraus resultierenden mehrkriteriellen Optimierungsproblemen ist die Berechnung der Menge der optimalen Kompromisse - der sogenannten Pareto-Menge. Ein Entscheidungsträger kann dann aus dieser Menge eine geeignete Lösung auswählen. In Steuerungsanwendungen ist es möglich, als Reaktion auf Änderungen der äußeren Bedingungen schnell zwischen verschiedenen Kompromissen zu wechseln. Die Pareto-Menge besteht in der Regel aus unendlich vielen Kompromisslösungen, ihre numerische Approximation ist daher wesentlich aufwendiger als die Lösung skalarer Optimierungsprobleme. Dies kann schnell zu einem prohibitiv großen Rechenaufwand führen, insbesondere in Situationen, in denen die Lösungen des zugrundeliegenden Systems rechenintensiv sind. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn das System durch eine partielle Differentialgleichung (PDE) beschrieben wird. In diesem Zusammenhang werden häufig Surrogatmodelle verwendet, die deutlich schneller gelöst werden können als die klassische numerische Approximation durch die Finite-Elemente-Methode. Im Fall von nicht glatten PDEs ist die Reduzierung des Rechenaufwands besonders wichtig, da diese Probleme oft deutlich teurer zu lösen sind als glatte Probleme. Allerdings führen die Surrogatmodelle einen Approximationsfehler in das System ein, der sowohl bei der Analyse als auch bei der Entwicklung von numerischen Algorithmen quantifiziert und berücksichtigt werden muss. Für nicht-glatte Probleme gibt es derzeit nur wenig Literatur zu diesem Thema.
Das Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung effizienter numerischer Methoden zur Lösung von mehrkriteriellen Optimierungsproblemen, die durch nicht-glatte PDEs eingeschränkt sind. In einem ersten Schritt werden Optimalitätsbedingungen für die nicht-glatten PDE-gebundenen Probleme hergeleitet und die (hierarchische) Struktur der Pareto-Mengen analysiert. Darauf aufbauend werden Algorithmen zur Berechnung von Pareto-Mengen für diese Probleme entwickelt. Die Methoden werden für die Optimierung von Problemen mit Max-Termen, Kontaktproblemen und zeitabhängigen hybriden und geschalteten Systemen eingesetzt.
Um den numerischen Aufwand zu bewältigen, werden Modellierungstechniken reduzierter Ordnung - wie Reduced Basis, Proper Orthogonal Decomposition und neuere Ansätze, die auf dem Koopman-Operator basieren - auf die nicht-glatte Umgebung erweitert. Dies erfordert die Berücksichtigung der Ungenauigkeit in der Konvergenzanalyse. Schließlich werden die Algorithmen in Zusammenarbeit mit anderen Mitgliedern des Schwerpunktprogramms auf mehrere verschiedene Problemstellungen angewendet.
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