Vorlesung Funktionalanalysis (SS 2022)

Prof. Dr. Robert Denk

  • Zeit und Ort der Vorlesung: Do 10.00-11.30 in D 406
  • Anmeldung zu den Übungen sowie Skript in Ilias.

Inhalt:

Diese Vorlesung gibt eine Einführung in grundlegende Fragestellungen und Methoden der Funktionalanalysis. Sie ist eine zentrale Vorbereitung für mehrere Vertiefungsrichtungen im Bereich B.Sc. Mathematik, und sollte auch von den Studierenden der Mathematischen Finanzökonomie gehört werden, ist aber auch für mathematisch orientierte Studierende der Physik interessant.

Die Funktionalanalysis beschäftigt sich mit Vektorräumen beliebiger Dimension sowie den linearen Abbildungen zwischen ihnen, den Operatoren. Im unendlich-dimensionalen Fall kann vieles passieren, was man aus der Linearen Algebra im endlich-dimensionalen Fall nicht kennt. So gibt es lineare Abbildungen, die nicht stetig sind, surjektive Abbildungen eines Raumes in sich müssen nicht injektiv sein, und es gibt unendliche Matrizen, die keinen Eigenwert besitzen. Hier heißt es, genauer hinzusehen und z. B. die verschiedenen Konvergenzbegriffe zu unterscheiden. Die Sätze der Funktionalanalysis analysieren die zugrundeliegenden Strukturen und erlauben damit ein tieferes Verständnis. So können z. B. Funktionen als "Punkte" eines Raumes verstanden werden, was einem erlaubt, auch geometrische Begriffe wie die Orthogonalität zu verwenden und auszunützen.
Die Ergebnisse der Funktionalanalysis sind fundamental für viele Bereiche der Mathematik, unter anderem für die Theorie partieller Differentialgleichungen, die mathematische Physik und die Numerik. In der Vorlesung werden Themen wie normierte Vektorräume, Dualräume, Hahn-Banach-Sätze, Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit sowie beschränkte und unbeschränkte Operatoren behandelt. Vorausgesetzt werden neben grundlegenden Dingen aus der Linearen Algebra solide analytische Grundkenntnisse der Analysis und die Beherrschung der einschlägigen Techniken. Zudem sollten topologische Grundbegriffe, zumindest für metrische Räume, schon etwas vertraut sein.

Die Vorlesung orientiert sich inhaltlich an den entsprechenden Kapiteln im Buch

R. Denk, R. Racke: Kompendium der Analysis - Ein kompletter Bachelor-Kurs von Reellen Zahlen zu Partiellen Differentialgleichungen Band 2. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, 305 Seiten.

Weitere Literatur wird in der Vorlesung bekanntgegeben.

Skript:

Ein Skript der aktuellen Vorlesung wird schrittweise aufgebaut und wird in Ilias bereitgestellt.

Prüfungsmodalitäten:

  • Für alle Studierenden gilt: Der Erwerb des Scheines bzw. das erfolgreiche Bestehen des Moduls setzt eine erfolgreiche Teilnahme an den Übungen voraus. Dies bedeutet sowohl einen hinreichend großen Anteil an korrekt gelösten Übungsaufgaben (ca. 50%) als auch eine aktive Teilnahme an den Übungen.
  • Die Modulprüfung findet je nach Teilnehmerzahl in Form einer mündlichen Prüfung oder einer Klausur statt. Mögliche Klausurtermine sind 08.08.2022 (Haupttermin) und 05.10.2022 (Nachtermin)